Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi.

Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang eselon baris tereduksi. Matriks tereduksi berupa matriks diagonal satuan .

Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Langkah-langkah

  1. Menentukan matriks augmentasi (augmented matrix form)
  2. Melakukan OBE sehingga matriks augmentasinya menjadi bentuk eselon baris tereduksi.
    2x + y + 4z = 8
    3x + 2y + z = 10
    x + 3y + 3z = 8
    Augmented:

Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi jika :

  1. Elemen pivot = 1
  2. Semua bilangan pada kolom di bawah elemen pivot adalah nol.
  3. Jika terdapat baris yang seluruhnya nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bagian bawah dari matriks.
  4. Setiap kolom yang mempunyai elemen pivot mempunyai nol ditempat lain.

Misal akan diselesaikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

Langkah – langkah penyelesaian dengan metode eliminasi gauss-jordan

  1. Matriks augmentasi dari sistem persamaan linear di atas adalah
  2. Menerapkan OBE sehingga diperoleh bentuk eselon baris tereduks sebagai berikut :



  3. Matriks terakhir ini dikatakan dalam bentuk eselon baris.
  4. Jadi penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah :z = 3,y + z = 5, sehingga  y = 2, danx + 2y + z = 8, sehingga x = 1.

 

Mencari Invers Suatu Matrix dengan OBE

Suatu matriks persegi dikatakan memiliki invers ( dapat dibalik / invertible ) jika terdapat matriks B sehingga AB = BA = I, dengan I matriks satuan.

Untuk menentukan invers matriks persegi A, dapat menggunakan sejumlah Operasi baris elementer (OBE) pada matriks A dan melakukan urutan OBE yang sama pada matriks I (matriks identitas).

Konsepnya :

dengan A−1 menyatakan invers matriks A. Artinya dengan OBE kita akan mengubah A menjadi matriks I (identitas).

Invers matriks elementer merupakan matriks elementer juga :

  1. (Iij)-1 = Iij
  2. (Ii(k))-1 = Ii(1/k)
  3. (Iij(k))-1 = Iij(-k)

Jika setelah dilakukan beberapa kali OBE dan diperoleh salah satu baris isinya nol semua, maka matriks tersebut tidak mempunyai invers karena determinannya sama dengan nol.

Contoh :

Tentukan invers matriks dari :

Penyelesaian :

Kita gabungkan kedua matriks A dan I dan kita lakukan OBE

Bentuk awal  =

 

 

Bentuk akhir: 

 

Jadi, invers matrix A adalah:

 

Sekian artikel dari saya, semoga dapat bermanfaat. Tunggu artikel selanjutnya.

Bila ada pertanyaan silahkan tinggalkan komentar di bawah yaa 🙂