Apa yang dimaksud SPL HOMOGEN ?

Sebelumnya kita membahas materi Penyelesaian SPL Non Homogen dengan eliminasi Gauss / Gauss-Jordan. sekarang kita masuk ke Penyelesaian SPL Homogen dengan eliminasi Gauss-Jordan. Sistem persamaan linear homogen adalah sistem persamaan linear yang semua suku konstannya nol

Bentuk umum dari SPL homogen adalah:

SPL Homogen dalam bentuk matriksnya:

Karakteristik SPL Homogen antara lain:

  1. Selalu konsisten
  2. pasti ada penyelesaian trivial (sederhana) X1=0, X2=0, … , Xn=0 atau
  3. penyelesaian tak berhingga/banyak penyelesaian tak trivial (tidak semuanya nol )

 

Illustrasinya:

Gambar kiri: Hanya solusi Trivial

Gambar kanan: Solusi banyak

 

SPL Homogen A(mn) X = 0 (m: persamaan, n:variabel) mempunyai kemungkinan penyelesaian:

  1. m > n  hanya mempunyai solusi trivial
  2. m = n  jika
  3. a)m < n  mempunyai solusi tidak trivial

 

Contoh soal:

Carilah penyelesaian SPL homogen berikut :

x + 2 y       = 0

– x – 2 y + z = 0

2x + 3 y + z = 0

Penyelesaian:

Pada matrik yang terakhir terlihat bahwa semua kolom matrik A memiliki satu utama (matrik identitas), sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu :

 

Carilah penyelesaian SPL homogen berikut  ini (Solusi tak trivial):

3 a + b + c = 0

5 a – b + c = 0

Penyelesaian:

Jadi diperoleh : a = – ¼c  dan  b = – ¼c (solusi umum)

Misalkan :   c = 4 -> a = -1 dan b = -1

c = -4 -> a = 1 dan b = 1

c = 1 -> a = – ¼ dan b = – ¼

c = -1 -> a = ¼ dan b = ¼

Diperbolehkan solusi tak trivial

 

Soal latihan tentukan solusi:

x +       2z + 3 w = 0

2x  + y + 3z + 3 w = 0

x  + y +   z +    w = 0

 

Sekian artikel dari saya, bila ada pertanyaan silahkan tinggalkan komentar di bawah yaa 🙂