Pada artikel sebelumnya kita telah membahas penyelesaian SPL homogen dengan eliminasi Gauss / Gauss-Jordan. Sekarang kita akan membahas bagaimana menentukan determinan dengan operasi baris elementer (OBE).

Pengertian Determinan

Determinan ialah nilai yang diperoleh dari matriks bujur sangkar A ( matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama) yang dihitung dengan aturan tertentu, yang nilainya bisa positif, nol, atau negatif. Matrik tidak bujur sangkar tidak ada hitungan determinannya.

Sifat – sifat determinan:

  1. Suatu determinan nilainya tidak berubah jika suatu baris atau kolom ditambahkan dengan suatu baris atau kolom lain.
  2. Jika suatu kolom atau baris dikalikan dengan skalar (K), maka nilai determinan akan menjadi (K) kali determinan semula.
  3. Jika salah satu baris atau kolom terdiri dari 0, maka nilai determinannya sama dengan 0.
  4. Jika dua baris atau kolom terdiri dari 0, maka nilai determinannya sama dengan 0.
  5. Jika sepasang baris atau kolom saling ditukarkan maka nilai determinannya berubah tanda, seperti dari positif ke negatif atau sebaliknya.
  6. Determinan matrik satuan adalah satu.

 

Teorema Mencari Determinan Matrik

Jika A dan B matriks persegi n x n, maka berlaku sifat-sifat determinan sbb:

  1. Jika A matriks diagonal maka det(A) adalah perkalian elemen diagonal utamanya.
  2. Jika A matriks segitiga atas atau bawah maka det(A) adalah perkalian elemen diagonal utamanya.
  3. Jika ada baris atau kolom dari A semua elemenya nol maka det(A) = 0
  4. Jika ada 2 baris atau 2 kolom dari A yang merupakan kelipatan satu sama lain, maka det(A) = 0.
  5. Det(At) = Det (A).
  6. Jika B diperoleh dari A dengan melakukan OBE (Rij) maka det(A) = – det(B).
  7. Jika B diperoleh dari A dengan melakukan OBE (Ri(k)) maka det(A) =   det(B).
  8. Jika B diperoleh dari A dengan melakukan OBE (Rij(k)) maka det(A) = det (B).

 

Pengertian Operasi Baris Elementer

OPERASI BARIS ELEMENTER merupakan suatu operasi yang diterapkan pada baris suatu matriks.OBE bisa digunakan untuk menentukan invers suatu matriks dan menyelesaikan suatu sistem persamaan linear (SPL).

Contoh Soal:

Penyelesaian:

  1. Pertama, kita ubah persamaan diatas menjadi matriks seperti gambar dibawah ini.
  2. Dari matriks di atas diperoleh matriks OBE tereduksi sbb :

    Dan akhirnya kita berhasil merubahnya menjadi matriks identik. Dan kita juga mendapat nilai variabelnya.
    x = -3 , y = 1 , z =1

 

Teorema Mencari Determinan Matriks

Misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita definisikan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer beranda dari A.

Jumlah det(A) kita namakan determinan A, maka :

  • —Jika kita punya matriks A2×2, =

    maka det(A) = a11a22 – a12a21.
  • —Jika kita punya matriks B3×3 =

    maka det(B) = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) – (a13a22a31 + a12a21a33 +a11a23a32).

Contoh Soal:

a.

b.

Penyelesaian:

—Berdasarkan pernyataan di atas kita dapat mencari determinan matrik dengan cara :

a. Det(A) = (3)(-2) – (1)(4) = -10

b. Det(B) = (45) + (84) + (96) – (105) – (-48) – (-72) = 240

 

—Tapi jika kita memiliki matriks yang berordo 4×4, 5×5, dan seterusnya, bagaimana cara mencari determinannya? Pada tulisan ini saya akan membahas untuk mencari determinan matriks menggunakan Operasi Baris Elementer dengan mereduksi matriks tersebut pada bentuk eselon baris atau membuat Matriks Segitiga Atas atau Matriks Segitiga Bawah.

Contoh matriks segitiga atas pada matriks 4×4 :

Contoh matriks segitiga bawah pada matriks 4×4 :

Contoh Soal:

Hitung determinan dari matriks berikut dengan memakai teorema 2!

A =

Penyelesaian:

Teorema 2

Jika A matriks segitiga atas atau bawah maka det(A) adalah perkalian elemen diagonal utamanya.

Karena matriks A merupakan matriks segitiga atas, maka untuk menghitung determinan dapat langsung menggunakan Teorema diatas. Jadi, det(A) = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

 

Hitunglah determinan matriks A

Penyelesaian:

Teorema 3&4

Jika ada baris atau kolom dari A semua elemenya nol maka det(A) =0. Jika ada 2 baris atau 2 kolom dari A yang merupakan kelipatan satu sama lain, maka det(A) = 0

  1. Dengan mereduksi A dan dengan memakai teorema 4, maka kita mendapatkan :
    -2 kali baris pertama ditambahkan kepada baris kedua.
  2. Tidak diperlukan reduksi selanjutnya karena dari teorema 4 diperoleh det(A)=0.

Teorema 5

  Det(At) = Det (A).

Contoh soal:

Hitunglah determinan (A) dan determinan (At)

 

Teorema 6,7,8

—Jika B diperoleh dari A dengan melakukan OBE (Rij) maka det(A) = – det(B). —

Jika B diperoleh dari A dengan melakukan OBE (Ri(k)) maka det(A) = det(B).

Jika B diperoleh dari A dengan melakukan OBE (Rij(k)) maka det(A) = det (B).

Latihan soal:

Hitung determinan (A)