Seperti yang telah dibahas pada materi sebelumnya yaitu menentukan determinan dengan OBE, kali ini saya akan membahas materi mengenai bagaimana cara menentukan determinan matriks menggunakan ekspansi kofaktor.

Pengertian Singkat Determinan

Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(A) atau |A|.

Metode Saurus

Jika martiks:

penyelesaiannya:

maka |A| =

Contoh:

Penyelesaian:

Nilai Determinan dicari menggunakan metode Sarrus

det(A)  = (-2 x 1 x -1) + (2 x 3 x 2) + (-3 x -1 x 0) – (-3 x 1 x 2) – (-2 x 3 x 0) – (2 x -1 x -1)

= 2 +12+0+6-0-2

= 18


Metode Ekspansi Kofaktor

Metode Ekspansi Kofaktor terbagi tiga jenis yaitu:

  1. Dengan Minor dan Kofaktor
  2. Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
  3. Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

 

Determinan dengan Minor dan kofaktor

Minor suatu matriks 𝐴 dilambangkan dengan 𝑀𝑖j adalah matriks bagian dari 𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen – elemennya pada baris ke-𝑖 dan elemen elemen pada kolom ke-𝑗.

Untuk keperluan menghitung ordo n dengan n≥3 perlu lebih dahulu definisikan pengertian minor dan kofaktor sbb :

Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C13 adalah (-1)^i+j Mij

determinan untuk matriks A

Mij det matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke i kolom ke j matriks A.

Definisi: Determinan matriks A (dengan ekspansi baris ke i, atau ekspansi kolom ke j)  adalah :

A= tentukan determinan A

Pertama buat minor dari a11

M11 = = detM = a22a33 – a23a32

Kofaktor suatu elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 dari matriks A dilambangkan dengan :

Kemudian kofaktor dari a11 adalah

Kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau – maka kita bisa melihat matrik dibawah ini:

Begitu juga dengan minor dari a32

M32 = = det(M) = a11a23 – a13a21

Maka kofaktor dari a32 adalah

Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3×3 adalah:

det(A) = a11C11+a12C12+a13C13

 

Contoh soal:

 

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

Misalkan ada sebuah matriks A3x3

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

Contoh soal:

A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama

Penyelesaian:

 

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.

Misalkan ada sebuah matriks A3x3

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

Contoh soal:

A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama

penyelesaian:

 

Adjoin Matriks

Adjoin adalah matriks kofaktor yang di Transposkan ( baris jadi kolom , kolom jadi baris ). Dilambangkan dengan   adj A = (C ij )^T

Contoh :

Tentukan Adjoin dari matriks A dibawah ini !

Penyelesaian:

Langkah pertama maka kita harus mencari kofaktor dari A , dengan cara sbb:

Langkah kedua Setelah hasil dari Kofaktor A ditemukan, maka kita mencari ADJOIN nya =

 

Sekian artikel dari saya, bila ada pertanyaan silahkan tinggalkan komentar di bawah yaa 🙂